李政道猴子分桃问题

著名美籍华裔物理学家李政道教授来华讲学时，访问了中国科技大学，会见了少年班的部分同学。在会见时，给少年班同学出了一道题：

1979李政道博士出的中科大少年班面试试题，五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说。夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了。第二只猴子起来后，像先前那只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了。第三、四五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分为5份，问这堆桃子至少是多少个？

a.“五猴分桃”的巧妙解法

先借后还。
桃子不是老是多一个么，分不匀，那么我们就先借给它们4个桃子，最后从它们剩的桃子中拿回来就可以了，这样猴子们就可以平均分成5份了，假设最开始有n个桃子。
对于第一个猴子来说，其实它并没有因为先分，又是借了4个桃子沾到什么光，其实它分到的桃子也就是之前它连吃带拿的桃子数量，借来的4个桃子分到其他4份中去了，它吃的其实还是它那份里面的，第一只猴子分完，还剩下(n+4)×4/5。
这个时候第二个猴子来分了，借给它们的4个桃子还在那堆桃子中，而且现在又可以平均分5份，所以第二个猴子分到的也是原来连吃带拿的桃子，剩下的桃子为(n+4)×(4/5)×(4/5)。
同理，后面三只猴也是这样分。
第三只猴子分完剩下(n+4)×(4/5)×(4/5)×(4/5)。
第四只猴子分完剩下(n+4)×(4/5)×(4/5)×(4/5)×(4/5)。
第五只猴子分完剩下(n+4)×(4/5)×(4/5)×(4/5)×(4/5)×(4/5)=(n+4)×1024/3125。
因为第五只猴子分完桃猴是均分的，所以(n+4)×1024/3125一定是整数，也就是说n+4是3125的倍数，最小也就是为3125，所以n=3125-4=3121。

b.“五猴分桃”的常规解法

下面我们再介绍一种“五猴分桃”问题的常规解法。我们可以这样分析：第五个猴子要分的桃子数至少是6个，那么第四个猴子要分的桃子数是至少是4x5+1＝21个，因此，设第五个猴子分的桃子数是(5k+1)，这样才能反推回去，
第四个猴子去分桃子前，还有桃子数就是 (4／5(4k／5+1))（个）
第三个猴子分桃子前有(4／5(4／5(4k／5+1)))（个）
第二个猴子分桃子前有（4／5（4／5（4／5（4k／5+1)))）（个）
第一个猴子分桃子前的总数为x－1个。
这样有 x－1=4／5（4／5（4／5（4k／5+1)))=12k+8+（53（k一1））/256
设k+1＝256m，则 x－1＝12(256m－1)8+53m=3124m－4
显然当m＝1时，这堆桃子数最少，即x＝3121个，因此，这五只猴子至少是从3121个桃子开始分的. 实际上，最后还剩下了1020个桃子。