一次函数定义及性质

一、定义

一次函数的定义：形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常数，k≠0）；

一次函数与x、y轴的交点，即：(0,b)和(-b/k,0)。

正比例函数必过点：（0，0）和（1，k）

二、常量斜率k和截距b几何意义

1.斜率k的几何意义

一次函数y=kx+b（k、b是常数且k≠0）中的x的系数k被称为一次函数的斜率。

斜率k的几何意义是所对应的直线倾斜角的正切值。即，k=tanα（其中，α为直线的倾斜角）。

倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小

2.截距b的几何意义

一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中的常数项b被称为一次函数在y轴上的截距，通常简称为截距。

【注】“截距”不是“距离”，可正、可负、也可为0。

三、一次函数性质

1.图像性质

一次函数规律总结：

1.k的符号决定一次函数的增减性

（1）当k>0时，图象一定经过第一、第三象限，图象从左向右上升，y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图象一定经过第二、第四象限，图象从左向右下降，y随x的增大而减小．

2.b的符号决定一次函数与y轴的交点位置

（1）当b>0时，图象与y轴的交点在x轴上方，图象一定经过第一、第二象限；

（2）当b<0时，图象与y轴的交点在x轴下方，图象一定经过第三、第四象限；

（3）当b=0时，函数图象一定经过原点．

3.k、b的符号共同决定一次函数所在的象限

①已知k，b的符号判断一次函数经过的象限．②可由一次函数y=kx+b图象的位置确定其系数k、b的符号．

四、一次函数变换

（一）平移

1.一次函数图像在x轴上的左右平移。
向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；
向右平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。
口诀：左加右减自变量（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。

2.一次函数图像在y轴上的上下平移。
向上平移m个单位，解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；
向下平移m个单位，解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。
口诀：上加下减常数项（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数）。

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【题目】

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（二）对称

直接关于x轴、y轴、原点的对称可以通过点关于x轴、y轴、原点的对称来理解，具体如下：

（1）关于x轴对称：

与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（x,-y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。

（2）关于y轴对称：

与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x,y）应当在直线y=k（-x）+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。

（3）关于原点对称：

与直线y=kx+b关于原点对称的直线l，每个点与它的对应点都关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数。

设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x,-y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=k（-x）+b,即l：y=kx-b。

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（三）位置关系

1.重合：当两个一次函数表达式中的k相同，b也相同时，则这两个一次函数的图像重合；
2.平行：当两个一次函数表达式中的k相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像平行；
3.相交：当两个一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，则这两个一次函数的图像相交。

特殊：当两个一次函数表达式中的k不相同，b相同时，则这两个一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）；
4.垂直：当两个一次函数表达式中的k互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

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【题目】

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五、一次函数的画法

一次函数y=kx＋b的图象的画法.

一般情况下：先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），（-b/k，0） .即横坐标或纵坐标为0的点，根据两点确定一条直线，连接两条直线即可。

六、常见一次函数表达式

1.一般式：ax+by+c=0（a,b,c都是任意常数）

2.斜截式：y=kx+b（k,b为常数且k≠0）

3.点斜式：y-y。=k(x-x。)（直线过定点（x。，y。），直线斜率为k）

4.截距式：x/a+y/b=1（a，b分别为x，y轴上的截距，直线不过原点）

（斜截式较常用。仅当斜率k存在时才能使用斜截式和点斜式）

七、求解一次函数解析式的方法

求解一次函数表达式可以根据题目所给的条件，采取一般式、斜截式、点斜式设置特定的函数关系式，具体步骤如下：

1.根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

2.将x、y的两组值或图象上的两点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

3.解方程得出未知系数的值；

4.将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

八、常用公式

1.求函数图象的k值：(y1-y2)/(x1-x2)，即k=tanα(α为直线与x轴正方向的夹角)

2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/2

3.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/2

4.设两个点A、B以及坐标分别为 、 ，则A和B两点之间的距离为：

5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式

两个一次函数 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，令y1=y2，得k1x+b1=k2x+b2。将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1，y2=k2x+b2两式的任一式，得到y=y0，则(x0, y0)即为 y1=k1x+b1与y2=k2x+b2之交点坐标。

6.求任意2点所连线段的中点坐标：( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2 )

7.求任意2点的连线的一次函数解析式：(x-x1)/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)

九、一次函数、二元一次方程、一元一次不等式的关系

（一）三者关系

一元一次方程可看作一次函数图象上的一个点，一元一次不等式可看作一次函数图象上的一段线。

解一元一次方程要先找点，由y的值确定点，对应的横坐标x就是一元一次方程的解；

利用一次函数图象解一元一次不等式要先找线，由y的范围确定线，对应的横坐标x的取值范围就是一元一次不等式的解集。

具体如下：

反之，使函数值y=0的x的取值就是方程ax+b=0（a≠0）的解。

（二）二元一次方程组的解与对应两条直线的位置关系