阿基米德与面积、体积及浮力

一根影子、一具墓碑、一部被刮掉重写的羊皮书——阿基米德与埃拉托色尼用几件再简单不过的东西，第一次把"面积、体积、浮力、地球大小"从估摸变成了可以证明的结论。本文讲清他们怎么算、凭什么算对了。

一、一页被刮掉又写上的羊皮书

1906 年夏天，丹麦语文学家海贝格（Johan Ludvig Heiberg）来到伊斯坦布尔的一处修道院图书馆，翻看一部十三世纪的拜占庭祈祷书。这部书表面平平无奇，但海贝格注意到，羊皮纸页上隐约透出更早的字迹——那是被人用刀刮掉、又覆写上祷文的一批旧书页。这种"刮掉重写"的羊皮纸，学界称为"重写本"（palimpsest）。

海贝格认出了刮痕下的文字：它们属于阿基米德。这部后来被称为"阿基米德重写本"的羊皮书，藏着七篇阿基米德的著作，其中《方法》与拼图《斯托马斯奇昂》两篇，在这部书之外没有任何存世抄本——它们原本被认为早已失传，此刻却在这部祈祷书里失而复得；而《论浮体》的希腊文原文，也只剩这一处孤本。

这一页羊皮纸，恰好把我们带到本篇要讲的核心问题面前：一个人，如何在没有微积分、没有计算器、甚至没有我们今天熟悉的代数符号的时代，算出曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体在液体中的浮沉规律？以及，与阿基米德差不多同时的另一位学者，又是如何用一根影子的长度，量出了地球的周长？

阿基米德不是突然冒出来的天才。在他身后，一整套关于"证明"的新方法正在希腊世界成形。

二、证明从何而来：约公元前 600 年到公元前 200 年

要理解阿基米德在做什么，得先看他踩在怎样的地基上。

大约从公元前六世纪起，在希腊的城邦与殖民地里，逐渐出现了一种此前世界很少见的习惯：不再满足于"这条经验规则管用"，而要追问"它为什么必然成立"。泰勒斯、毕达哥拉斯学派的名字常常和这桩转变连在一起，但我们今天对他们的了解，几乎全部来自数百年后作者转述的材料，其生平细节很难当作可靠事实。相对更可信的，是留存下来的数学文本所显示的走向：人们开始用"定义"划定概念、用"公理"摆出起点、再用"证明"从起点一步步推出结论。

到公元前三世纪，这个传统已经相当成熟。欧几里得《几何原本》把大量零散的几何知识收拢进一个公理化的框架，这部书未必是他一人独创，而是对前人成果的整理与综合。它确立了一个影响深远的样板：数学命题应当被证明，而不只是被陈述。

阿基米德正是在这条线索上工作，又把它推向了新的方向。《几何原本》处理的多是直线、圆这些相对"规整"的对象，而阿基米德大胆地去碰曲线、曲面和不规则形体——圆、球、圆柱、抛物线弓形——这些东西的面积和体积，正是古代数学里最棘手的问题。

需要说明的是，这条"定义—公理—证明"的线索并非人类唯一的数学传统。差不多同一时期，中国的《九章算术》及其注释传统在积累另一套以算法和实际问题为轴心的方法，印度和美洲也各自发展着独立的数学。希腊的证明传统之所以在历史上留下这么重的一笔，不是因为它"更正确"，而是因为它恰好发展出一套后来被广泛借鉴的表达方式。本篇讲的阿基米德，属于希腊这条线索，但读者心里应当留一个位置给那些并行的河流。

三、会算面积，更要知道为什么必然成立

图1　穷竭法示意：内接（蓝）与外切（红）正多边形夹逼圆，边数越多夹得越紧

阿基米德处理面积与体积的工具，今天通常叫作"穷竭法"。

名字听起来玄，思路其实朴素。假设你想求一个不规则图形的面积，最笨的办法是先把它框进一个多边形里估个大概，再用边数更多的多边形去逼近。多边形的面积是可以精确算出来的，边数每增加一次，多边形的面积就离目标图形的面积更近一步。阿基米德的高明之处在于：他不是满足于"越来越接近"这个感觉，而是反过来，用逻辑把误差逼到无路可退——这就是"穷竭"的意思，把可能存在的误差一点点耗尽。

用现代记号重述一下这个思路（古代没有这些符号，这里只是转述其精神）：设一个圆的半径为 r。圆的内接正 n 边形面积记为 aₙ，外切正 n 边形面积记为 Aₙ，那么圆的真实面积 S 被夹在中间：

aₙ < S < Aₙ

当 n 不断加倍，aₙ 增大、Aₙ 减小，两者像钳子一样夹向同一个值。阿基米德证明，这个共同的值正是 πr²（π 是圆周率，圆周长与直径之比）。他由此给出两条现代仍在课本里的结论：圆面积等于 πr²；而球的表面积恰好等于它外切圆柱的侧面积，球的体积则是这个外切圆柱体积的三分之二。

这里有个分水岭。阿基米德之前的许多文明——巴比伦、埃及、中国——都各自掌握了不少计算面积、体积的实用公式，其中一些数值相当准确。阿基米德做的事不同：他不再满足于"这个公式用起来是对的"，而要证明"这个结果不可能不是它"。从"会算"到"为什么必然成立"，这是希腊证明传统里最沉的一步。

四、用 96 边形逼近圆周率

图2　阿基米德以九十六边形得到的圆周率界限：223/71 < π < 22/7

阿基米德对圆周率的处理，是穷竭法最直观的一次演示。圆周率 π 是圆周长与直径的比值，这个数古已有之：古巴比伦人取过约 3.125，古埃及人取过约 3.16，中国古算书里则有"径一而周三"的记载。这些早期的值，多半是拿实测的周长去比直径，得出来的估计，精度取决于绳子量得准不准。

阿基米德换了一条路：根本不去量，而是算。

他做一个单位圆（半径取 1），从内接正六边形出发。正六边形的边长是精确的（等于半径，也就是 1），它的周长 6 就是圆周长的下界。接着把边数加倍：六边形变十二边形，再变二十四边形、四十八边形，一直到九十六边形。每加倍一次，都要用到勾股定理（西方也称毕达哥拉斯定理）去求新多边形的边长——这些计算，阿基米德全是靠开平方和分数近似硬算出来的，没有三角函数表，也没有任何现代记号。

同样的动作在外切方向再做一遍，得到上界。两边一夹，他得到一个漂亮的结论：

223/71 < π < 22/7

换成小数，就是 3.1408 < π < 3.1429。圆周率的真值约是 3.14159，阿基米德的上下界把它夹得死死的。22/7 这个数，此后一千多年一直是西方最常用的 π 近似值，简单、好记、又够准。

这个小算例值得停下来想一想。阿基米德并没有"发明"圆周率——这个常数在更早的文明里已经被反复使用。他做的是第一次给 π 一个严格的理论界：不是"量出来差不多"，而是"经过证明，它一定在这个范围里"。用现代记号转述时，我们说他"算到 96 边形"，但要记住，他的原书里没有一个三角符号，每一步都是几何图形加根式估算。这是穷竭法精神的典型体现：用可证明的步骤，取代不可靠的测量。

五、浮力、王冠与那句传了一千年的"尤里卡"

图3　阿基米德原理：物体所受浮力等于它排开液体的重量

面积和体积之外，阿基米德还留下了一个与"证明"同样重要的东西：一套把数学用到物理世界的方法。

《论浮体》是流传下来的古希腊最早系统讨论流体静力学的著作。书中提出了一条今天仍以阿基米德命名的原理：浸在液体里的物体，会受到一个向上的浮力，这个浮力的大小，等于它排开的那部分液体的重量。用这句话，可以解释为什么船会浮、为什么石头会沉，也可以反过来，通过物体在液体里的浮沉，去判断它的材质——因为不同的物质，同样的重量占据的体积不同，排开的水也不同。

这条原理背后最著名的故事，是"王冠与尤里卡"：叙拉古国王希伦二世托人打造一顶纯金王冠，疑心金匠掺了白银，请阿基米德验一验。相传阿基米德在洗澡时悟到方法，兴奋地喊着"尤里卡（我找到了）"跑上街。这个故事的现存最早版本出自罗马建筑师维特鲁威，写于阿基米德身后约两百年，情节细节——比如他是否真的光着身子跑出去——属于后世文学加工，不能当作史实。但故事要传达的那个方法，即"用排水来比较比重、鉴别材质"，与《论浮体》的物理内容是相通的。合理推断是：阿基米德确实掌握了一套以浮沉和排水来检验物质的方法，至于"尤里卡"那一幕的戏剧化程度，应归入传说。

这里顺便说清楚一件事：阿基米德既不是"单枪匹马发明了浮力"，也不是凭空冒出这个念头。在他之前，造船、提水、称重这些实践已经积累了丰富的经验；他的贡献，是把这些经验提炼成一条可以陈述、可以推导的普遍原理，并把它写进一本能够传给后人的书里。这正是"证明"思维从几何向自然世界的延伸。

六、阿基米德之死：可靠记载与后世传说

图4　球内切于外接圆柱——相传刻在阿基米德墓碑上的图形

阿基米德在叙拉古被杀这件事，后来成了西方文化里被反复讲述的一幕。

公元前 212 年，罗马军队攻陷了阿基米德的家乡叙拉古。关于他的死，可以大致分成两层。

可靠的事实：阿基米德在叙拉古城破时被一名罗马士兵所杀。这一点有较早期的记载支持——历史学家波利比乌斯在阿基米德死后约七十年写下的《通史》里记录了叙拉古攻城，后来的普鲁塔克、李维又引用了相关材料。罗马统帅马塞卢斯似乎曾下令要善待阿基米德，但命令没能保住他。

后世的传说：流传最广的版本，是普鲁塔克笔下的场景——阿基米德正在海滩上画图演算，一名罗马士兵走近命令他离开，他全神贯注，回了一句大意是"别打扰我的圆圈"，士兵不认得他，拔剑刺死。那句著名的拉丁文"Noli turbare circulos meos"（别弄乱我的圆），实际上并未出现在普鲁塔克的原话里，而是后来才定型的名句。换句话说，这句"遗言"是文学想象的产物，而非可考的史实。

另一件有据可查的事，是阿基米德的墓。公元前 75 年，罗马演说家西塞罗在西西里任财务官，他四处打听阿基米德的墓，当地人已经说不清位置。西塞罗最终在叙拉古一处荒草丛生的地方找到了它，并把它清理修整。据西塞罗自己记载，墓碑上刻着一个球内接于圆柱的图形——那正是阿基米德生前最看重的成果：球的体积是外切圆柱的三分之二。这个"球与圆柱"的雕刻，是阿基米德本人对自己工作的一个盖章：他引以为傲的，不是战争机器，不是浮力，而是那个纯几何的证明。

把这三层并排放在一起看，能看出历史记载的分寸：城破、被杀、墓上的球与圆柱，这些是相对可靠的；"别打扰我的圆圈"那句名言，以及他在海滩演算的戏剧性画面，是较晚来源补上的文学化想象。分清这两者，正是读古代科学史的基本功。

七、一根影子量出地球的周长

图5　埃拉托色尼测地球：两地影子夹角 7.2° 对应圆周的 1/50

与阿基米德差不多同时，另一位学者把"证明"的思维用到了大地本身上。

埃拉托色尼（约公元前 276—前 194 年）长期在埃及亚历山大城工作，一度掌管亚历山大图书馆。他听说，在亚历山大以南的塞尼（今阿斯旺附近），有一口深井，每年夏至正午，太阳的光会直直照进井底——这意味着那一刻太阳正好位于头顶正上方，竖立的物体没有影子。

埃拉托色尼做了个推理。他假设地球是圆的（这在当时的希腊学界已是被广泛接受的看法），又假设太阳光到达地球时彼此平行（因为太阳极远）。那么，如果同一时刻在亚历山大竖一根杆子，杆子会投下影子，影子和杆子的夹角，就等于塞尼与亚历山大两地之间那段圆弧所对的圆心角。

他测得亚历山大那天的日影夹角约为 7.2°，这正好是圆周 360° 的五十分之一。塞尼到亚历山大的距离约为 5000 斯塔德（stadia，古希腊长度单位，具体换算今有争议）。于是：

地球周长 ≈ 5000 斯塔德 × 50 = 250000 斯塔德

这个数字换算成今天的单位，取决于"斯塔德"取多长——按一种通行估计约 157.5 米，结果约 39375 公里，与现代实测的地球经线圈长度（约 40000 公里）误差只有约 1%—2%。即便按较大的换算口径，误差也仍在可接受范围。

这里同样要守住分寸。埃拉托色尼的原书已经失传，我们知道的简化版本，来自几个世纪后克勒奥梅德斯（Cleomedes）的转述。这个简化版悄悄用了两个理想化假设：塞尼正好在北回归线上、塞尼与亚历山大正好在同一条经线上——这两点在现实中都只是近似成立。学者普遍认为，埃拉托色尼自己的方法比这个转述更复杂、更依赖专门的丈量数据。但无论如何，这个"用一根影子和一段距离，按比例推出整个地球大小"的几何推理，本身是可靠的、也是惊人的：两千多年前，有人用如此少的观测，第一次给出了一个与真实值同数量级、甚至相当接近的地球周长。

埃拉托色尼和阿基米德处在同一个思想时刻：他们都不再满足于"地球有多大"或"圆面积是多少"这类问题的经验答案，而用几何模型把它变成一个可以证明的比例问题。这是证明传统从几何图形延伸到整个宇宙的一次外溢。

八、从"会算"到"为什么必然成立"

把本篇的四条线索——面积与体积、圆周率、浮力、地球大小——放在一起，会发现它们共享同一种方法气质。

阿基米德用穷竭法证明圆面积，与埃拉托色尼用影子推地球周长，在结构上是同一件事：先承认一个前提（多边形可精确计算／地球是圆的），再用逻辑推出一条必然结论，最后拿观测或计算去检验。区别只在于，阿基米德面对的是纯几何的对象，埃拉托色尼把同样的推理搬到了大地这个真实物体上。

这种"证明"的传统一旦确立，就再没有退回去。后世的数学，无论怎样发展，都继承了这个底线：一个命题之所以成立，不因为权威这么说，不因为经验多次应验，而因为它被证明了。今天我们习以为常的"定理—证明"结构，源头可以一路追到这一时期的希腊。这不是某个天才一夜之间的创举，而是一批学者在两个多世纪里逐步搭起来的一套方法。

阿基米德对后人还有一层特殊的意义：他证明，这套用来组织几何知识的"证明"，同样适用于物理世界——浮力、杠杆、重心。数学不再只是关于抽象图形的学问，而成了一种可以用来理解自然、预测现象的通用语言。这一步，为后来伽利略、牛顿那一整条"用数学写自然"的路线埋下了伏笔。

九、通向下一站：素数

阿基米德与埃拉托色尼处理的问题，有一个共同点：他们都在"数"与"形"之外，触碰到了"无穷"与"枚举"的边界。阿基米德穷竭法的本质，是让边数无限增加、误差无限缩小；这种"越来越接近"的思路，是后来极限与微积分思想的远祖。

而那位量出地球周长的埃拉托色尼，还留下了另一个更朴素、却同样影响深远的遗产——他给出了一种从自然数里逐个筛出素数的方法。素数，是只能被 1 和自身整除的数；如何把它们从无穷多的整数里一一挑出来，本身就是一个关于"无穷"的问题。

从阿基米德逼近圆周率的"越来越近"，到埃拉托色尼筛素数的"一个个挑"，时间线在这里自然向前推进。下一站，我们就去看那张筛子——埃拉托色尼筛法与素数。